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定義#

將一個多項式在一定範圍化為幾個整式的積的形式，這種式子的變形叫做因式分解。

分解方法#

提公因式法#

提公因式法是因式分解的最基本方法，也就是將多項式中每個項都含有的字母、常數和式子提出來。在使用任何其他方法之前，應該先用提公因式法把冗餘部分提出，以免影響之後解題。

公式法#

運用其他方法時，分解出高次數的因式，一定要注意是否分解完全，看看可不可以用公式法或其他方法繼續分解。

通過逆用乘法公式將一個多項式分解因式的方法叫做公式法
常用的公式有：
1. 平方差公式
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
2. 完全平方公式
$a^2 \pm 2ab+b^2=(a \pm b)^2$
3. 立方和立方差公式
$a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)$
$a³-b³＝(a-b)(a²+ab+b²)$
4. 三元完平
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
5. 完全立方
$(a+b)³＝a³+3a²b+3ab²+b³$
$(a-b)³＝a³-3a²b+3ab²-b³$
6. 歐拉公式及其推論
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
1. 若$a+b+c=0$，則$a^3+b^3+c^3=3abc$
2. 若$a^3+b^3+c^3=3abc$，則$a+b+c=0$或$a=b=c$
因式分解碰到歐拉公式，一般會和推論一起來。

這個方法沒有什麼例子好舉，套公式就行。

十字相乘法#

定義：用十字交叉先來分解係數，把二次三項式分解因式的方法叫做十字相乘法。
口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

十字相乘法就是通過畫十字線的方法把形如 abx²+(an+bm) x+mn 和 abx²+(an+bm)+mny² 分別分解為 (ax+m)(bx+n) 和 (ax+my)(bx+ny)

看完這個例子，你應該知道，十字相乘就是將末尾的常數項或二次項進行拆分 (先考慮差值較小的)，讓他們可以凑出中間項的係數。

如果 x² 項的係數不為一，那我們可以先把 x² 項拆成兩個含 x 項相乘的形式，如：4x²=2x・2x=x・4x 之類的，要考慮的就比較多了。如果有一種行不通，不要懷疑自己，很可能就是這個方法做不出來。

分組法#

定義：用分組來分解因式的方法叫做分組法
如：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a (x+y)+b (x+y)=(a+b)(x+y)
分組方法並不唯一：ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by)=x (a+b)+y (a+b)=(x+y)(a+b)

分解步驟：

1. 將多項式按照字母、係數、次數等來分組，分別對每組因式分解，可持續發展。
2. 分組後，用其他方法進一步因式分解。

例 1：因式分解：4xy+2x+2y+1
原式 =(4xy+2x)+(2y+1)
=2x(2y+1)+(2y+1)
=(2x+1)(2y+1)

例 2：因式分解：ac²+bd²-ad²-bc²
思路：把含有 c² 的項放在一起，把含有 d² 的項放在一起，再分別提公因式。
原式 =(ac²-bc²)+(bd²-ad²)
=c²(a-b)-d²(a-b)
=(a-b)(c²-d²) // 注意有沒有分解完全
=(a-b)(c+d)(c-d)

例 3：因式分解：x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
思路：按照次數分組，三個一組，再分別提公因式。
原式 =(x⁵+x⁴+x³)+(x²+x+1)
=x³(x²+x+1)+(x²+x+1)
=(x+1)(x²-x+1)(x²+x+1)

主元法#

定義#

主元法就是再分解含有多個字母的代數式時，選取其中一個字母為主元 (元就是未知數)，將其看為常數，把代數式整理為關於主元的降幂排列或升幂排列的多項式，再嘗試用其他方法進行分解。

分解步驟#

1) 選擇一個主元，這裡用 x，整理為形如 ax²+bx+c 的形式。
2) 對整理好的式子用其他方法，如十字相乘法，繼續分解。

例題#

例 1：因式分解: x²-mx²+mx-3x+2
思路：這裡主元 m 的話就沒有二次項了，比主元 x 要簡單一點。
原式 =(-x²+x) m+x²-3x+2
=-x(x-1)m+(x-1)(x-2)
=(x-1)(x-mx-2)

例 2：因式分解：x²-a (3x-2a+b)-b²
主元 a
原式 = x²-3xa+2a²-ba-b²// 建議把主元放在每個項的末尾，這樣比較清晰
=2a²-(3x+b)a+x²-b²
=2a²-(3x+b)a+(x+b)(x-b)

∴原式 =(a-x-b)(2a-x+b)

拆填項#

概念#

拆項：指的是把代數式拆成若干項代數的和，如$a^2=2a^2-a^2$
填項：在代數式中填上兩個相反的項，叫做填項，如$a^2+1=a^2+2a+1-2a$

在對所給多項式因式分解時，若難以直接分組分解時，常可以用拆填項的變形創造出可以提取公因式或運用公式法進行分解的條件，使得原式某些項可以建立練習，便於採用分組法進行因式分解。

例題#

例 1：因式分解：$a^3-4a+3$
解：
法一 (填項)：
原式$=a^3-a^2+a^2-4a+3$
$=a^2(a-1)+(a-1)(a-3)$
$=(a-1)(a^2+a-3)$
法二 (拆項)：
原式$=a^3-a-3a+3$
$=a(a+1)(a-1)-3(a-1)$
$=(a-1)(a^2+a-3)$

例 2：因式分解：$a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4$
解：原式$=(a^4+a^3b+a^2b^2)+(a^3b+a^2b^2+ab^3)+(a^2b^2+ab^3+b^4)$
$=a^2(a^2+ab+b^2)+ab(a^2+ab+b^2)+b^2(a^2+ab^2)$
$=(a^2+ab+b^2)^2$

換元法#

換元指的是在因式分解過程中，遇到相同或幾個有關聯的式子的時候，用其他的未知數 (元) 來表示。這樣做往往會使原式更加清晰，讓多項式的項數減少，可以使複雜的問題簡單化。

例：因式分解：$(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12$
解：令$t=x^2+x$,
則原式$=(t+1)(t+2)-12$
$=t²+3t+2-12$
$=t²+3t-10$
$=(t-2)(t+5)$
$=(x²+x-2)(x²+x+5)$
$=(x-1)(x+2)(x²+x+5)$

試根法#

介紹試根法前，需要先知道以下幾個概念：關於 x 的代數式、餘數定理、因式定理。

關於 x 的代數式#

關於下的代數式可以用 f (x) 或 g (x) 等表示。
這裡用 f 表示對括號內的字母進行一系列的運算，f (3) 表示當 x=3 時，代數式 f (x) 的值。

餘數定理與因式定理#

多項式 f (x) 除以多項式 g (x) 的商式為 q (x), 餘式為 r (x)。
[latex] f (x) \div g (x)=q (x) \cdots r (x)[/latex], 可以寫為 f (x)=g (x) q (x)=r (x)。
當 g (x) 為一次式 (ax+b) 時，則餘式 r (x) 只能為常數，此時餘式可以被稱為餘數，記作 r，則可以寫為 f (x)=(ax+b)・q (x)+r

餘數定理：多項式 f (x) 除以 (ax+b) 的餘數等於 [latex] f (-\frac {b}{a})[/latex]
因式定理：若多項式 f (x) 有一個因式 (ax+b)，則 [latex] f (-\frac {b}{a})=0 [/latex]，反之亦然

由此可以看出，因式定理是餘數定理在 r=0 時的一種特殊情況。

定義#

通過因式定理和長除法，我們可以得到另一個因式分解的方法 —— 試根法。

(1) 對整係數多項式 $f(x)=a_0x^{n}+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_n$：
性質 1：若首項係數$a_0=1$，且它有因式 (x-q)（q 為整數），則 q 一定是常數項$a_n$的因數
性質 2：若首項係數$a_0\ne1$，且它有因式 (px-q)（p、q 互素），則 p 一定是首項係數$a_0$的因數，q 一定是常數項$a_n$的因數
(2) 試根法：對整係數多項式$f(x)$進行因式分解時，根據因式定理，若能找到方程$f(x)=0$的根$x=q$或$x=\frac{q}{p}$。剩下部分可用長除法來求得，可也要注意是否分解完全。

但要注意的是：即使試不出有理根，也不能說明原式不能在有理數範圍內因式分解，只能說明沒有一次因式。

例題

例 1：因式分解：$x⁵+5x⁴-5x³-25x²+4x+20$
解：試根：當$x=±1$時，原式為 0 ∴原式必有因式 (x+1)(x-1)
由長除法，
原式$=(x+1)(x-1)(x³+5x²-4x-20)$
$=(x+1)(x-1)[x²(x+5)-4(x+5)]$
$=(x+1)(x-1)(x+5)(x²-4)$
$=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)(x+5)$

例 2：因式分解：$6x^4+5x^3+3x^2-3x-2$
試根：當$x=-\frac{1}{2},x=\frac{2}{3}$時，原式 = 0 ∴原式必有因式 (2x+1)(3x-2)
由長除法，原式 =$(2x+1)(3x-2)(x^2+x+1)$

例 3：因式分解：$3x^3-5x^2y+x^2y+x^3$
試根，當 x=y 時，原式 = 0 ∴原式必有因式 (x-y)
由長除法，
原式 =$(x-y)(3x^2-2xy-y^2)$
=$(x-y)^2(3x+y)$

輪換對稱法#

概念#

1. 對稱式指的是有若干元的多項式，任意交換兩個元的位置，原多項式不變。
輪換式指的是如果一個多項式中元按照任何次序輪換後，原多項式不變。
2. 齊次式指一個多項式，它所有的項都具有相同的次數 n，則稱這樣的多項式為 n 次齊次式。

輪換式和對稱式有以下性質：
1. 對稱式一定是輪換式，而輪換式不一定是對稱式。
2. 關於相同字母的輪換式或對稱式的和、差、積、商 (除式不為 0) 仍然為輪換式或對稱式。
3. 若輪換式或對稱式中含有某種形式的式子，則必有相同類型的式子。
如一個關於 x,y,z 的輪換對稱式，若有 ax² 項，則必有 ay² 和 az² 項；若含有 bxy 項，則必有 byz 和 bzx 項。

解題步驟

1) 試根

試根就是使原式 = 0，見上文 “試根法”。
試根是有範圍的，見下表：

2) 比較次數

用原式的次數減去因式必有次數，然後再用試根出來的因式乘上相差次數對應的因式。
對應次數的因式見下表:

3. 對比係數

通過賦值法和比較係數法之類的方法，計算出因式的係數，即可分解完成。

例題

例 1: 因式分解: $(a+b+c)^4-(a+b)^4-(b+c)^4-(c+a)^4+a^4+b^4+c^4$
解：試根：當 a=0 時，原式 = 0
根據因式定理及輪換式性質，必有因式 abc
比較次數，設原式 = kabc (a+b+c)
令 a=b=1,c=-1 得 1-16-0+1+1+1=-k
解得 k=12
∴原式 = 12abc (a+b+c)

例 2：因式分解：$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$
解：試根：當 a=-b 時，原式 = 0
由因式定理與輪換式性質，原式必有因式 (a+b)(b+c)(c+a)
比較次數，設原式 = k (a+b)(b+c)(c+a)
設 a=0,b=1,c=2 4+2=6k
∴k=1
∴原式 =(a+b)(b+c)(c+a)

待定係數法#

這個方法不是很重要，過程很多。而因式分解是解決實際問題的一個小步驟，如果用待定係數法會把問題複雜化，故略。