CMuidar

この記事は私のウェブサイトから転送されました。

定義#

多項式を一定の範囲でいくつかの整数式の積の形に変形することを因式分解と呼びます。

分解方法#

公因式法#

公因式法は因式分解の最も基本的な方法であり、多項式の各項に含まれる文字、定数、式を取り出すことです。その他の方法を使用する前に、公因式法で冗長な部分を取り出すべきです。

公式法#

他の方法を使用する際、高次の因式を分解する場合は、完全に分解されているかどうかに注意し、公式法や他の方法でさらに分解できるかを確認します。

逆に乗法公式を用いて多項式を因式分解する方法を公式法と呼びます。
一般的な公式には以下があります：

1. 平方差公式
   $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
2. 完全平方公式
   $a^2 \pm 2ab+b^2=(a \pm b)^2$
3. 立方和と立方差の公式
   $a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)$
   $a³-b³＝(a-b)(a²+ab+b²)$
4. 三元完平
   $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$
5. 完全立方
   $(a+b)³＝a³+3a²b+3ab²+b³$
   $(a-b)³＝a³-3a²b+3ab²-b³$
6. オイラーの公式とその推論
   $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
7. もし$a+b+c=0$ならば、$a^3+b^3+c^3=3abc$
8. もし$a^3+b^3+c^3=3abc$ならば、$a+b+c=0$または$a=b=c$
   因式分解でオイラーの公式に出会うと、一般的に推論と一緒に出てきます。

この方法には特に良い例はありませんので、公式を使うだけです。

十字相乗法#

定義：十字交差を用いて係数を分解し、二次三項式を因式分解する方法を十字相乗法と呼びます。
覚え方：首尾分解、交差相乗、求和して中間を作る。

十字相乗法は、十字線を描く方法で形が abx²+(an+bm) x+mn と abx²+(an+bm)+mny² をそれぞれ (ax+m)(bx+n) と (ax+my)(bx+ny) に分解します。

この例を見た後、十字相乗法は末尾の定数項または二次項を分解し（まずは差が小さいものを考慮する）、それらが中間項の係数を作り出すことを理解するべきです。

もし x² 項の係数が 1 でない場合、x² 項を含む 2 つの x 項の積の形に分解することができます。例えば：4x²=2x・2x=x・4x のように、考慮すべきことが多くなります。もし一つの方法がうまくいかない場合、自分を疑わないでください。おそらくこの方法では解決できないのです。

分組法#

定義：分組を用いて因式分解する方法を分組法と呼びます。
例えば：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a (x+y)+b (x+y)=(a+b)(x+y)
分組法は唯一ではありません：ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by)=x (a+b)+y (a+b)=(x+y)(a+b)

分解手順：

1. 多項式を文字、係数、次数などで分組し、それぞれのグループを因式分解します。
2. 分組後、他の方法でさらに因式分解します。

例 1：因式分解：4xy+2x+2y+1
原式 =(4xy+2x)+(2y+1)
=2x(2y+1)+(2y+1)
=(2x+1)(2y+1)

例 2：因式分解：ac²+bd²-ad²-bc²
思路: c² を含む項を一緒にし、d² を含む項を一緒にし、それぞれ公因式を取り出します。
原式 =(ac²-bc²)+(bd²-ad²)
=c²(a-b)-d²(a-b)
=(a-b)(c²-d²) // 完全に分解されているか注意
=(a-b)(c+d)(c-d)

例 3：因式分解：x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
思路：次数で分組し、3 つずつ分け、それぞれ公因式を取り出します。
原式 =(x⁵+x⁴+x³)+(x²+x+1)
=x³(x²+x+1)+(x²+x+1)
=(x+1)(x²-x+1)(x²+x+1)

主元法#

定義#

主元法は、複数の文字を含む代数式を分解する際に、1 つの文字を主元として選び（元は未知数）、それを定数として扱い、代数式を主元に関する降冪または昇冪の多項式に整理し、他の方法で分解を試みることです。

分解手順#

1. 主元を選択します。ここでは x を使用し、ax²+bx+c の形に整理します。
2. 整理した式に他の方法（例えば十字相乗法）を用いてさらに分解します。

例題#

例 1：因式分解: x²-mx²+mx-3x+2
思路：ここで主元 m を使うと二次項がなくなり、主元 x よりも簡単になります。
原式 =(-x²+x) m+x²-3x+2
=-x(x-1)m+(x-1)(x-2)
=(x-1)(x-mx-2)

例 2：因式分解：x²-a (3x-2a+b)-b²
主元 a
原式 = x²-3xa+2a²-ba-b²// 主元を各項の末尾に置くと、より明確になります。
=2a²-(3x+b)a+x²-b²
=2a²-(3x+b)a+(x+b)(x-b)

∴原式 =(a-x-b)(2a-x+b)

拆填項#

概念#

拆項：代数式をいくつかの項の和に分解することを指します。例えば$a^2=2a^2-a^2$
填項：代数式に 2 つの逆の項を追加することを指します。例えば$a^2+1=a^2+2a+1-2a$

与えられた多項式を因式分解する際、直接分組分解が難しい場合、拆填項の変形を使用して公因式を取り出す条件を作り出し、原式のいくつかの項を練習できるようにし、分組法で因式分解を行いやすくします。

例題#

例 1：因式分解：$a^3-4a+3$
解：
法一 (填項)：
原式$=a^3-a^2+a^2-4a+3$
$=a^2(a-1)+(a-1)(a-3)$
$=(a-1)(a^2+a-3)$
法二 (拆項)：
原式$=a^3-a-3a+3$
$=a(a+1)(a-1)-3(a-1)$
$=(a-1)(a^2+a-3)$

例 2：因式分解：$a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4$
解：原式$=(a^4+a^3b+a^2b^2)+(a^3b+a^2b^2+ab^3)+(a^2b^2+ab^3+b^4)$
$=a^2(a^2+ab+b^2)+ab(a^2+ab+b^2)+b^2(a^2+ab^2)$
$=(a^2+ab+b^2)^2$

変数置換法#

変数置換は、因式分解の過程で、同じまたは関連のある式に出会ったときに、他の未知数を用いて表現することを指します。これにより、原式がより明確になり、多項式の項数が減少し、複雑な問題を簡素化できます。

例：因式分解：$(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12$
解：$t=x^2+x$と置くと、
原式$=(t+1)(t+2)-12$
$=t²+3t+2-12$
$=t²+3t-10$
$=(t-2)(t+5)$
$=(x²+x-2)(x²+x+5)$
$=(x-1)(x+2)(x²+x+5)$

試根法#

試根法を紹介する前に、以下のいくつかの概念を知っておく必要があります：x に関する代数式、余り定理、因式定理。

x に関する代数式#

x に関する代数式は f (x) や g (x) などで表すことができます。
ここでは f を使用して括弧内の文字に一連の演算を行い、f (3) は x=3 のときの代数式 f (x) の値を表します。

余り定理と因式定理#

多項式 f (x) を多項式 g (x) で割った商を q (x)、余りを r (x) とします。
[latex] f (x) \div g (x)=q (x) \cdots r (x)[/latex]、これは f (x)=g (x) q (x)=r (x) と書けます。
g (x) が一次式 (ax+b) の場合、余り r (x) は定数のみとなり、この時余りは余数と呼ばれ、r と記します。したがって、f (x)=(ax+b)・q (x)+r と書けます。

余り定理：多項式 f (x) を (ax+b) で割った余りは [latex] f (-\frac {b}{a})[/latex] に等しいです。
因式定理：もし多項式 f (x) が因式 (ax+b) を持つならば、[latex] f (-\frac {b}{a})=0 [/latex]、逆もまた然りです。

これにより、因式定理は余り定理の r=0 の場合の特別なケースであることがわかります。

定義#

因式定理と長除法を用いて、もう一つの因式分解の方法 — 試根法を得ることができます。

(1) 整数係数の多項式 $f(x)=a_0x^{n}+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_n$：
性質 1：首項の係数$a_0=1$で、因式 (x-q)（q は整数）を持つ場合、q は必ず定数項$a_n$の因数です。
性質 2：首項の係数$a_0\ne1$で、因式 (px-q)（p、q は互いに素）を持つ場合、p は必ず首項の係数$a_0$の因数で、q は必ず定数項$a_n$の因数です。
(2) 試根法：整数係数の多項式$f(x)$を因式分解する際、因式定理に基づき、方程式$f(x)=0$の根$x=q$または$x=\frac{q}{p}$を見つけることができれば、残りの部分は長除法で求めることができます。ただし、完全に分解されているかどうかにも注意が必要です。

ただし、試根が有理根を見つけられなかった場合でも、原式が有理数範囲内で因式分解できないとは限らず、一次因式がないことを示すだけです。

例題

例 1：因式分解：$x⁵+5x⁴-5x³-25x²+4x+20$
解：試根：$x=±1$のとき、原式は 0 となるため、原式には因式 (x+1)(x-1) が必ず存在します。
長除法により、
原式$=(x+1)(x-1)(x³+5x²-4x-20)$
$=(x+1)(x-1)[x²(x+5)-4(x+5)]$
$=(x+1)(x-1)(x+5)(x²-4)$
$=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)(x+5)$

例 2：因式分解：$6x^4+5x^3+3x^2-3x-2$
試根：$x=-\frac{1}{2},x=\frac{2}{3}$のとき、原式 = 0 ∴原式には因式 (2x+1)(3x-2) が必ず存在します。
長除法により、原式 =$(2x+1)(3x-2)(x^2+x+1)$

例 3：因式分解：$3x^3-5x^2y+x^2y+x^3$
試根：$x=y$のとき、原式 = 0 ∴原式には因式 (x-y) が必ず存在します。
長除法により、
原式 =$(x-y)(3x^2-2xy-y^2)$
=$(x-y)^2(3x+y)$

交換対称法#

概念#

1. 対称式とは、いくつかの元からなる多項式であり、任意の 2 つの元の位置を交換しても元の多項式が変わらないものです。
   交換式とは、多項式中の元が任意の順序で交換されても元の多項式が変わらないものです。
2. 齊次式とは、すべての項が同じ次数 n を持つ多項式を指し、そのような多項式を n 次齊次式と呼びます。

交換式と対称式には以下の性質があります：

1. 対称式は必ず交換式ですが、交換式が必ず対称式であるとは限りません。
2. 同じ文字に関する交換式または対称式の和、差、積、商（除式が 0 でない場合）は依然として交換式または対称式です。
3. 交換式または対称式に特定の形式の式が含まれている場合、必ず同じタイプの式が存在します。
   例えば、x,y,z に関する交換対称式が ax² 項を含む場合、必ず ay² および az² 項が存在します；bxy 項を含む場合、必ず byz および bzx 項が存在します。

解題手順

1. 試根

試根は原式 = 0 にすることです。上記の「試根法」を参照してください。
試根には範囲があります。以下の表を参照してください：

2. 次数の比較

原式の次数から因式の必然的な次数を引き、その後、試根から得られた因式に次数の差に対応する因式を掛けます。
対応する次数の因式は以下の表を参照してください：

3. 係数の比較

代入法や係数比較法などの方法を用いて、因式の係数を計算することで、因式分解を完成させることができます。

例題

例 1: 因式分解: $(a+b+c)^4-(a+b)^4-(b+c)^4-(c+a)^4+a^4+b^4+c^4$
解：試根：$a=0$のとき、原式 = 0
因式定理および交換式の性質により、必ず因式 abc が存在します。
次数を比較し、原式を$=kabc(a+b+c)$と設定します。
$a=b=1,c=-1$とすると $1-16-0+1+1+1=-k$
$k=12$と解得ます。
∴原式 = 12abc (a+b+c)

例 2：因式分解：$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc$
解：試根：$a=-b$のとき、原式 = 0
因式定理および交換式の性質により、原式には因式 (a+b)(b+c)(c+a) が必ず存在します。
次数を比較し、原式を$=k(a+b)(b+c)(c+a)$と設定します。
$a=0,b=1,c=2$とすると $4+2=6k$
∴$k=1$
∴原式 =(a+b)(b+c)(c+a)

未定係数法#

この方法はそれほど重要ではなく、過程が多くなります。因式分解は実際の問題を解決するための小さなステップであり、未定係数法を使用すると問題が複雑化するため、省略します。