因式分解笔记

这篇文章从我的网站转过来的。

定义

将一个多项式在一定范围化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做因式分解。

分解方法

提公因式法

提公因式法时因式分解的最基本方法，也就是将多项式中每个项都含有的字母、常数和式子提出来。在使用任何其他方法之前，应该先用提公因式法把冗余部分提出，以免影响之后解题。

公式法

运用其他方法时，分解出高次数的因式，一定要注意是否分解完全，看看可不可以用公式法或其他方法继续分解。

通过逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法
常用的公式有：
1. 平方差公式
a 2−b 2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b)
2. 完全平方公式
a 2±2 ab+b 2=(a±b)2 a^2 \pm 2ab+b^2=(a \pm b)^2a2±2ab+b2=(a±b)2
3. 立方和立方差公式
a 3+b 3=(a+b)(a 2−ab+b 2)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
a 3−b 3＝(a−b)(a 2+ab+b 2)a³-b³＝(a-b)(a²+ab+b²)a3−b3＝(a−b)(a2+ab+b2)
4. 三元完平
(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2 ab+2 bc+2 ca(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
5. 完全立方
(a+b)3＝a 3+3 a 2 b+3 a b 2+b 3(a+b)³＝a³+3a²b+3ab²+b³(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3
(a−b)3＝a 3−3 a 2 b+3 a b 2−b 3(a-b)³＝a³-3a²b+3ab²-b³(a−b)3＝a3−3a2b+3ab2−b3
6. 欧拉公式及其推论
a 3+b 3+c 3−3 abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2−ab−bc−ca)a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)
1. 若a+b+c=0 a+b+c=0a+b+c=0，则a 3+b 3+c 3=3 abc a^3+b^3+c^3=3abca3+b3+c3=3abc
2. 若a 3+b 3+c 3=3 abc a^3+b^3+c^3=3abca3+b3+c3=3abc，则a+b+c=0 a+b+c=0a+b+c=0或 $$a=b=c
因式分解碰到欧拉公式，一般会和推论一起来。

这个方法没有什么例子好举，套公式就行。

十字相乘法

定义：用十字交叉先来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。

十字相乘法就是通过画十字线的方法把形如 abx²+(an+bm) x+mn 和 abx²+(an+bm)+mny² 分别分解为 (ax+m)(bx+n) 和 (ax+my)(bx+ny)

看完这个例子，你应该知道，十字相乘就是将末尾的常数项或二次项进行拆分 (先考虑差值较小的)，让他们可以凑出中间项的系数。

如果 x² 项的系数不为一，那我们可以先把 x² 项拆成两个含 x 项相乘的形式，如：4x²=2x・2x=x・4x 之类的，要考虑的就比较多了。如果有一种行不通，不要怀疑自己，很可能就是这个方法做不出来。

分组法

定义：用分组来分解因式的方法叫做分组法
如：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a (x+y)+b (x+y)=(a+b)(x+y)
分组方法并不唯一：ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by)=x (a+b)+y (a+b)=(x+y)(a+b)

分解步骤：

将多项式按照字母、系数、次数等来分组，分别对每组因式分解，可持续发展。

分组后，用其他方法进一步因式分解。

例 1：因式分解：4xy+2x+2y+1
原式 =(4xy+2x)+(2y+1)
=2x(2y+1)+(2y+1)
=(2x+1)(2y+1)

例 2：因式分解：ac²+bd²-ad²-bc²
思路：把含有 c² 的项放在一起，把含有 d² 的项放在一起，再分别提公因式。
原式 =(ac²-bc²)+(bd²-ad²)
=c²(a-b)-d²(a-b)
=(a-b)(c²-d²) // 注意有没有分解完全
=(a-b)(c+d)(c-d)

例 3：因式分解：x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
思路：按照次数分组，三个一组，再分别提公因式。
原式 =(x⁵+x⁴+x³)+(x²+x+1)
=x³(x²+x+1)+(x²+x+1)
=(x+1)(x²-x+1)(x²+x+1)

主元法

定义

主元法就是再分解含有多个字母的代数式时，选取其中一个字母为主元 (元就是未知数)，将其看为常熟，把代数式整理为关于主元的降幂排列或升幂排列的多项式，再尝试用其他方法经行分解。

分解步骤

1) 选择一个主元，这里用 x，整理为形如 ax²+bx+c 的形式。
2) 对整理好的式子用其他方法，如十字相乘法，继续分解。

例题

例 1：因式分解: x²-mx²+mx-3x+2
思路：这里主元 m 的话就没有二次项了，比主元 x 要简单一点。
原式 =(-x²+x) m+x²-3x+2
=-x(x-1)m+(x-1)(x-2)
=(x-1)(x-mx-2)

例 2：因式分解：x²-a (3x-2a+b)-b²
主元 a
原式 = x²-3xa+2a²-ba-b²// 建议把主元放在每个项的末尾，这样比较清晰
=2a²-(3x+b)a+x²-b²
=2a²-(3x+b)a+(x+b)(x-b)

∴原式 =(a-x-b)(2a-x+b)

拆填项

概念

拆项：指的是把代数式拆成若干项代数的和，如a 2=2 a 2−a 2 a^2=2a^2-a^2a2=2a2−a2
填项：在代数式中填上两个相反的项，叫做填项，如a 2+1=a 2+2 a+1−2 a a^2+1=a^2+2a+1-2aa2+1=a2+2a+1−2a

在对所给多项式因式分解时，若难以直接分组分解时，常可以用拆填项的变形创造出可以提取公因式或运用公式法经行分解的条件，使得原式某些项可以建立练习，便于采用分组法经行因式分解。

例题

例 1：因式分解：a 3−4 a+3 a^3-4a+3a3−4a+3
解：
法一 (填项)：
原式=a 3−a 2+a 2−4 a+3=a^3-a^2+a^2-4a+3=a3−a2+a2−4a+3
=a 2(a−1)+(a−1)(a−3)=a^2(a-1)+(a-1)(a-3)=a2(a−1)+(a−1)(a−3)
=(a−1)(a 2+a−3)=(a-1)(a^2+a-3)=(a−1)(a2+a−3)
法二 (拆项)：
原式=a 3−a−3 a+3=a^3-a-3a+3=a3−a−3a+3
=a(a+1)(a−1)−3(a−1)=a(a+1)(a-1)-3(a-1)=a(a+1)(a−1)−3(a−1)
=(a−1)(a 2+a−3)=(a-1)(a^2+a-3)=(a−1)(a2+a−3)

例 2：因式分解：a 4+2 a 3 b+3 a 2b 2+2 a b 3+b 4 a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4
解：原式=(a 4+a 3 b+a 2b 2)+(a 3 b+a 2b 2+a b 3)+(a 2b 2+a b 3+b 4)=(a^4+a^3b+a^2b^2)+(a^3b+a^2b^2+ab^3)+(a^2b^2+ab^3+b^4)=(a4+a3b+a2b2)+(a3b+a2b2+ab3)+(a2b2+ab3+b4)
=a 2(a 2+ab+b 2)+ab(a 2+ab+b 2)+b 2(a 2+a b 2)=a^2(a^2+ab+b^2)+ab(a^2+ab+b^2)+b^2(a^2+ab^2)=a2(a2+ab+b2)+ab(a2+ab+b2)+b2(a2+ab2)
=(a 2+ab+b 2)2=(a^2+ab+b^2)^2=(a2+ab+b2)2

换元法

换元指的是在因式分解过程中，遇到相同或几个有关联的式子的时候，用其他的未知数 (元) 来表示。这样做往往会使原式更加清晰，让多项式的项数减少，可以使复杂的问题简单化。

例：因式分解：(x 2+x+1)(x 2+x+2)−12(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12(x2+x+1)(x2+x+2)−12
解：令t=x 2+x t=x^2+xt=x2+x,
则原式=(t+1)(t+2)−12=(t+1)(t+2)-12=(t+1)(t+2)−12
=t 2+3 t+2−12=t²+3t+2-12=t2+3t+2−12
=t 2+3 t−10=t²+3t-10=t2+3t−10
=(t−2)(t+5)=(t-2)(t+5)=(t−2)(t+5)
=(x 2+x−2)(x 2+x+5)=(x²+x-2)(x²+x+5)=(x2+x−2)(x2+x+5)
=(x−1)(x+2)(x 2+x+5)=(x-1)(x+2)(x²+x+5)=(x−1)(x+2)(x2+x+5)

试根法

介绍试根法前，需要先知道以下几个概念：关于 x 的代数式、余数定理、因式定理。

关于 x 的代数式

关于下的代数式可以用 f (x) 或 g (x) 等表示。
这里用 f 表示对括号内的字母经行一系列的运算，f (3) 表示当 x=3 时，代数式 f (x) 的值。

余数定理与因式定理

多项式 f (x) 除以多项式 g (x) 的商式为 q (x), 余式为 r (x)。
[latex] f (x) \div g (x)=q (x) \cdots r (x)[/latex], 可以写为 f (x)=g (x) q (x)=r (x)。
当 g (x) 为一次式 (ax+b) 时，则余式 r (x) 只能为常数，此时余式可以被称为余数，记作 r，则可以写为 f (x)=(ax+b)・q (x)+r

余数定理：多项式 f (x) 除以 (ax+b) 的余数等于 [latex] f (-\frac {b}{a})[/latex]
因式定理：若多项式 f (x) 有一个因式 (ax+b)，则 [latex] f (-\frac {b}{a})=0 [/latex]，反之亦然

由此可以看出，因式定理时余数定理在 r=0 时的一种特殊情况。

定义

通过因式定理和长除法，我们可以得到另一个因式分解的方法 —— 试根法。

(1) 对于整系数多项式 f(x)=a 0 xn+a 1 x n−1+…+a n−1 x+an f(x)=a_0x^{n}+a_1x^{n-1}+…+a_{n-1}x+a_nf(x)=a0​xn+a1​xn−1+…+an−1​x+an​：
性质 1：若首项系数a 0=1 a_0=1a0​=1，且它有因式 (x-q)（q 为整数），则 q 一定是常数项an a_nan​的因数
性质 2：若首项系数a 0≠1 a_0\ne1a0​=1，且它有因式 (px-q)（p、q 互素），则 p 一定是首项系数a 0 a_0a0​的因数，q 一定时常数项an a_nan​的因数
(2) 试根法：对整系数多项式f(x)f(x)f(x)经行因式分解时，根据因式定理，若能找到方程f(x)=0 f(x)=0f(x)=0的根x=q x=qx=q或x=qp x=\frac{q}{p}x=pq​。剩下部分可用长除法来求得，可也要注意是否分解完全。

但要注意的是：即使试不出有理根，也不能说明原式不能在有理数范围内因式分解，只能说明没有一次因式。

例题

例 1：因式分解：x 5+5 x 4−5 x 3−25 x 2+4 x+20 x⁵+5x⁴-5x³-25x²+4x+20x5+5x4−5x3−25x2+4x+20
解：试根：当x=±1 x=±1x=±1时，原式为 0 ∴原式必有因式 (x+1)(x-1)
由长除法，
原式=(x+1)(x−1)(x 3+5 x 2−4 x−20)=(x+1)(x-1)(x³+5x²-4x-20)=(x+1)(x−1)(x3+5x2−4x−20)
=(x+1)(x−1)[x 2(x+5)−4(x+5)]=(x+1)(x-1)[x²(x+5)-4(x+5)]=(x+1)(x−1)[x2(x+5)−4(x+5)]
=(x+1)(x−1)(x+5)(x 2−4)=(x+1)(x-1)(x+5)(x²-4)=(x+1)(x−1)(x+5)(x2−4)
=(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)(x+5)=(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)(x+5)=(x+1)(x−1)(x+2)(x−2)(x+5)

例 2：因式分解：6 x 4+5 x 3+3 x 2−3 x−2 6x^4+5x^3+3x^2-3x-26x4+5x3+3x2−3x−2
试根：当x=−12,x=23 x=-\frac{1}{2},x=\frac{2}{3}x=−21​,x=32​时，原式 = 0 ∴原式必有因式 (2x+1)(3x-2)
由长除法，原式 =(2 x+1)(3 x−2)(x 2+x+1)(2x+1)(3x-2)(x^2+x+1)(2x+1)(3x−2)(x2+x+1)

例 3：因式分解：3 x 3−5 x 2 y+x 2 y+x 3 3x^3-5x^2y+x^2y+x^33x3−5x2y+x2y+x3
试根，当 x=y 时，原式 = 0 ∴原式必有因式 (x-y)
由长除法，
原式 =(x−y)(3 x 2−2 xy−y 2)(x-y)(3x^2-2xy-y^2)(x−y)(3x2−2xy−y2)
=(x−y)2(3 x+y)(x-y)^2(3x+y)(x−y)2(3x+y)

轮换对称法

概念

1. 对称式指的是有若干元的多项式，任意交换两个元的位置，原多项式不变。
轮换式指的是如果一个多项式中元按照任何次序轮换后，原多项式不变。
2. 齐次式指一个多项式，它所有的项都具有相同的次数 n，则称这样的多项式为 n 次齐次式。

轮换式和对称式有以下性质：
1. 对称式一定是轮换式，而轮换式不一定是对称式。
2. 关于相同字母的轮换式或对称式的和、差、积、商 (除式不为 0) 任然为轮换式或对称式。
3. 若轮换式或对称式中含有某种形式的式子，则必有相同类型的式子。
如一个关于 x,y,z 的轮换对称式，若有 ax² 项，则必有 ay² 和 az² 项；若含有 bxy 项，则必有 byz 和 bzx 项。

解题步骤

1) 试根

试根就是使原式 = 0，见上文 “试根法”。
试根是有范围的，见下表：

试根 | 因式
x=0 | xyz
x=y | (x-y)(y-z)(z-x)
x=-y | (x+y)(y+z)(z+x)
x=y+z | (x-y-z)(y-z-x)(z-x-y)
x=-(y+z) | (x+y+z)

2) 比较次数

用原式的次数减去因式必有次数，然后再用试根出来的因式乘上相差次数对应的因式。
对应次数的因式见下表:

次数 | 次数
一次 | a(x+y+z)
二次 | a(x²+y²+z²)+b(xy+yz+zx)
三次 |

对比系数

通过赋值法和比较系数法之类的方法，计算出因式的系数，即可分解完成。

例题

例 1: 因式分解: (a+b+c)4−(a+b)4−(b+c)4−(c+a)4+a 4+b 4+c 4(a+b+c)^4-(a+b)^4-(b+c)^4-(c+a)^4+a^4+b^4+c^4(a+b+c)4−(a+b)4−(b+c)4−(c+a)4+a4+b4+c4
解：试根：当 a=0 时，原式 = 0
根据因式定理及轮换式性质，必有因式 abc
比较次数，设原式 = kabc (a+b+c)
令 a=b=1,c=-1 得 1-16-0+1+1+1=-k
解得 k=12
∴原式 = 12abc (a+b+c)

例 2：因式分解：a 2 b+a b 2+b 2 c+b c 2+c 2 a+c a 2+2 abc a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abca2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc
解：试根：当 a=-b 时，原式 = 0
由因式定理与轮换式性质，原式必有因式 (a+b)(b+c)(c+a)
比较次数，设原式 = k (a+b)(b+c)(c+a)
设 a=0,b=1,c=2 4+2=6k
∴k=1
∴原式 =(a+b)(b+c)(c+a)

待定系数法

这个方法不是很重要，过程很多。而因式分解是解决实际问题的一个小步骤，如果用待定系数法会把问题复杂化，故略。